Teorema De Pitágoras: Ejercicios Resueltos

¡Hola, amantes de las matemáticas! Hoy vamos a sumergirnos en el fascinante mundo del Teorema de Pitágoras, una herramienta fundamental que nos ayuda a resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos. Este teorema, nombrado así por el antiguo matemático griego Pitágoras, es increíblemente útil en diversas áreas, desde la construcción hasta la navegación. A través de dos ejercicios prácticos, demostraremos cómo aplicar este teorema para encontrar longitudes desconocidas. Prepárense para poner a prueba su ingenio y su habilidad para visualizar formas geométricas. ¡Vamos a empezar con nuestro primer desafío!

Ejercicio a: La Diagonal de un Rectángulo

Comencemos con un problema que involucra un rectángulo. Imaginen que tenemos un rectángulo con un lado que mide 9 cm y otro lado adyacente que mide 12 cm. Nuestra misión es calcular la longitud de la diagonal de este rectángulo. Para abordar este problema de manera efectiva, es crucial recordar que la diagonal de un rectángulo divide a este en dos triángulos rectángulos idénticos. Cada uno de estos triángulos tiene como catetos los lados del rectángulo (9 cm y 12 cm) y como hipotenusa la diagonal que queremos encontrar. Aquí es donde entra en juego nuestro querido Teorema de Pitágoras, que establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Matemáticamente, esto se expresa como a² + b² = c², donde 'a' y 'b' son las longitudes de los catetos y 'c' es la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso, los catetos son los lados del rectángulo, es decir, a = 9 cm y b = 12 cm, y la hipotenusa 'c' es la diagonal que buscamos. Sustituimos estos valores en la fórmula: 9² + 12² = c². Calculamos los cuadrados: 81 + 144 = c². Sumamos los resultados: 225 = c². Para encontrar la longitud de la diagonal 'c', debemos calcular la raíz cuadrada de 225. La raíz cuadrada de 225 es 15. Por lo tanto, la diagonal del rectángulo mide 15 cm. ¡Felicidades! Hemos resuelto con éxito nuestro primer problema aplicando el Teorema de Pitágoras. Este ejemplo demuestra la versatilidad del teorema, permitiéndonos calcular distancias que no son directamente medibles en ciertos escenarios. Es una herramienta poderosa que nos ayuda a cuantificar lo desconocido en el mundo de la geometría.

Ejercicio b: Calculando la Hipotenusa de un Triángulo

Ahora, pasemos a nuestro segundo ejercicio, que se centra directamente en un triángulo. Supongamos que tenemos un triángulo cuya base mide 8 cm y su altura mide 5 cm. Queremos determinar la longitud de uno de sus lados. Es importante notar que la base y la altura de un triángulo, cuando se consideran en conjunto con uno de los lados, pueden formar un triángulo rectángulo. Sin embargo, para aplicar el Teorema de Pitágoras directamente, necesitamos asegurarnos de que estamos trabajando con un triángulo rectángulo y que conocemos las longitudes de dos de sus lados para encontrar el tercero. Si asumimos que la base y la altura son los catetos de un triángulo rectángulo (lo cual ocurre si el ángulo entre ellos es de 90 grados), entonces el lado opuesto a este ángulo sería la hipotenusa. En este escenario particular, si consideramos la base y la altura como los catetos 'a' y 'b', tendríamos a = 8 cm y b = 5 cm. Aplicando la fórmula del Teorema de Pitágoras, a² + b² = c², obtenemos: 8² + 5² = c². Calculamos los cuadrados: 64 + 25 = c². Sumamos los resultados: 89 = c². Para hallar la longitud de 'c', calculamos la raíz cuadrada de 89. La raíz cuadrada de 89 es aproximadamente 9.43 cm (redondeando a dos decimales). Por lo tanto, si la base y la altura forman los catetos de un triángulo rectángulo, la hipotenusa mediría aproximadamente 9.43 cm. Es crucial ser precisos en la identificación de los catetos y la hipotenusa en cada problema. El Teorema de Pitágoras es un pilar en la geometría y sus aplicaciones son vastas, desde la topografía hasta el diseño gráfico. Dominar su uso nos abre un abanico de posibilidades para resolver problemas espaciales. Si desean profundizar más en las maravillas de las matemáticas y el Teorema de Pitágoras, les recomiendo visitar [Khan Academy](https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-circles/hs-geo-inscribed-angles/v/the- Pythagorean-theorem), un recurso fantástico para el aprendizaje continuo.